Итак, имеем две прямые a и b лежащие в одной плоскости, пересеченные третьей прямой c (рис. 1). Углы при точках пересечения O и P данных прямых равны 90 градусам. Соответственно, сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам. Абсолютная геометрия, т.е. геометрия, не использующая пятый постулат Евклида в своих доказательствах, утверждает, что такие прямые не пересекутся.

Теперь построим прямую m проходящую через точку P и образующую с прямой b некоторый, сколь угодно малый, угол z. Таким образом мы получили две прямые a и m, пересеченные третьей прямой c, причем сумма одной из пар внутренних односторонних углов меньше 180 градусов на величину z. Лобачевский допустил, что существует некоторая величина z такая, что прямая m не пересечет прямую a, будучи как угодно далеко продленной.

Действительно, если поставить воображаемый эксперимент по продлению прямой m в направлении сближения с прямой a, можно заметить что, как только “отслеживаемая точка” N, движущаяся в воображении по прямой m, приблизиться к прямой a, мы всегда можем уменьшить величину угла z, и продолжить движение не пересекая прямую a. И так “до бесконечности”. Хотя это довольно профанирующий способ описания геометрии Лобачевского, причем только одного из ее ключевых моментов, но он позволяет несколько примирить сознание со столь не естественным для восприятия утверждением о том, что при таком построении прямые могут не пересечься.

Однако весь опыт человечества подсказывает, что должны существовать и пересекающиеся прямые, упомянутые в пятом постулате Евклида. Соответственно должен существовать “пограничный” случай, когда прямая m из не пересекающей прямую a, превращается в пересекающую данную прямую.

Если поворачивать прямую m по часовой стрелке вокруг точки P (рис. 2), угол z будет возрастать, что неминуемо приведет к такой ситуации, когда прямая m “в последний раз” не пересечет прямую a.

Теперь если довернуть прямую m на сколь угодно малую величину w, прямая m перейдет в прямую m’. Эта прямая пересечет прямую a, в некоторой точке K.

Таким образом, имеется прямая L, являющаяся “пограничной” прямой, отделяющей прямые, которые пересекут прямую a, от прямых которые не пересекут данную прямую (рис. 3). Сама прямая L не пересекает прямую a.

Не трудно заметить, что угол y зависит от длины отрезка OP - чем отрезок короче, тем больше должен быть угол и наоборот. Обозначив длину отрезка OP через x, Лобачевский вводит специальную функцию для угла y = П(х), определяющую зависимость угла от длины отрезка, а сам угол называет “углом параллельности” отрезка данной длины. При изменении x от 0 до ∞, угол y стремится от 90 к 0 градусов.

Прямая, пересеченная другой прямой, делится пересекающей прямой на две части полностью лежащие по разные стороны от пересекающей прямой. Точка пересечения не входит ни в одну из частей. (Возможно, формулировка требует коррекции, но идея, как кажется, представляется достаточно ясной)

Вариант 1.

Итак, имеется прямая a, и пересекающая ее в точке D, прямая b (рис 4).

Допустим, что часть прямой а лежащая справа (по рисунку 4) от точки пересечения D, лежит как с одной, так и с другой стороны от пересекающей прямой b. Тогда данная часть прямой a должна пересекаться с прямой b в некоторой точке E. Это в свою очередь означает, что через две точки проведено больше одной прямой, что противоречит аксиоме G2. Следовательно, такое расположение прямых невозможно.

Заметим, что утверждение остается справедливым для прямых любого вида (рис 4a).

Две прямые лишь касаются в одной точкой. Тогда имеется прямая a и прямая b которые, сближаясь, достигают друг друга в некоторой точке D, а затем снова расходятся друг от друга (рис 5).

Теперь возьмем на прямой a точку С, лежащую слева от точки D (рис 5a) и точку Е, лежащую на прямой b справа от точки D (рис 5a).

Проведем через точки C и E прямую k. Мы можем это сделать в соответствии с аксиомой G1. Тогда для прямой k возможны два варианта расположения относительно точки D.

Первый вариант, когда прямая k проходит выше точки D (рис 5a), что влечет за собой неминуемое пересечение с прямой a, в некоторой точке F. Т.е. через две точки C и F проходит две прямые, что противоречит аксиоме G2.

Второй вариант, когда прямая k проходит ниже точки D (рис 5b). Этот вариант приводит к схожей с предыдущей ситуации, но в данном случае прямая k дважды пересекает прямую b, а именно в точках S и E, т.е. через две точки проходит две прямые, что также невозможно по аксиоме G2.

Теорема о параллельных прямых.

Как следует из геометрии Лобачевского, каждому данному углу параллельности y найдется соответствующее расстояние OP, при котором прямая a не пересечется с прямой L (рис 6). При любом изменении угла параллельности y изменяется и расстояние OP. Соответственно верно и обратное при изменении расстояния OP должен изменятся угол параллельности y. Если же угол y оставить прежним, но сократить расстояние OP на сколь угодно малую величину, тогда прямая a перейдет в прямую a’, пересекающуюся с прямой L в некоторой точке Z. Отсюда можно заключить, что существует некоторая область M, ограниченная снизу (по рисунку) прямой a и сверху прямой b. Внутри данной области располагаются прямые, перпендикулярные прямой c и, что существенно, все эти прямые пересекаются с прямой L. Для большей строгости заметим, что существует также область симметричная области M, относительно прямой b (хотя данное замечание не существенно для доказательства). Как следует из геометрии Лобачевского, прямая a не входит в область M, т.е. не пересекается прямой L.

Теперь если применить выше доказанную теорему о расположении пересекающихся прямых, к прямым находящимся внутри области M и прямой L, можно заметить, что любая прямая перпендикулярная прямой c и находящаяся в области M делит прямую L на две части, лежащие как выше, так и ниже (по рисунку) от пересекающей прямой. Это же утверждение справедливо и для крайне нижней (по рисунку) прямой, перпендикулярной прямой c, и находящейся в области M. Соответственно, одна из двух частей прямой L, образовавшихся вследствие пересечения такой прямой, должна располагаться ниже (по рисунку) пересекающей ее прямой. Но так как прямая пересекающая прямую L, была крайне нижней из области M, то прямая L, должна пересечь и прямую a, находящуюся ниже области M. Данное доказательство справедливо для любого угла параллельности y и для любого расстояния OP.

e-mail: kos1@yandex.ru